par Claude TIMMERMAN
[ Qu’un changement de régime pro-atlantiste ne convienne pas à nos visées géopolitiques actuelles dans la reconfiguration des équilibres mondiaux en cours ne nous empêche pas d’être persuadé d’une fraude manifeste du régime de Maduro pour se maintenir coûte que coûte au pouvoir, un régime de nomenklatura, corrompu qui a conduit près de 7 millions de vénézuéliens à la misère et à fuir le pays en Colombie et au Pérou et très souvent pour les filles à s’y prostituer. Régime autoritaire, bolchevique ou stalinien dans l’âme selon les goûts dont nous n’espérons qu’une chose que l’armée du peuple le renverse et ne tire pas une fois de plus sur la foule. Nous publions ce texte pour son fond, l’analyse de la loi de Benford, mais tenons à préciser ici notre folle envie de voir Maduro décapité dans cette grande tradition révolutionnaire qu’il vénère tant ! Michel LHOMME, rédacteur en chef de Metainfos.]
Au moment de l’élection de Biden, où le monde médiatique, avait unilatéralement annoncé la victoire du candidat démocrate sans aucune confirmation officielle, l’idée d’une adhésion active et globale à une manipulation électorale – dont Joe Biden s’est lui-même vanté dans une vidéo qu’il n’a jamais contestée, et qui a fait alors le tour du monde malgré la censure diligentée par toutes les instances dirigeantes des réseaux sociaux et des sites d’hébergement de vidéos – certains, sûrement pleins de bonne volonté, tentèrent de montrer que cette fraude aurait pu être mise scientifiquement en évidence par l’emploi d’un instrument statistique classique, comme ce fut le cas en Suisse après l’introduction du vote électronique, dès 2012, en Suisse. (https://www.letemps.ch/sciences/statisticiens-traquent-fraude-electorale)
Et les militants antifraude de brandir alors la fameuse loi de Benford dont la fonction de répartition (profil de de la distribution) peut effectivement notoirement s’écarter pour Biden de son profil classique, présentant des anomalies en cas de fraude : c’est ce qui exploité aujourd’hui aussi en matière de cyber-criminalité et pour détecter la fraude fiscale. Ce dont maintenant certains médias se font l’écho.
Les rumeurs de fraude électorale au Venezuela qui fleurissent après la réélection, déjà contestée par les atlantistes, de Nicolas Maduro en sont un nouvel exemple. C’est que là l’enjeu politique international est énorme : c’est le cœur du mouvement des BRICs aux Amériques. La chute électorale de Maduro confirmée pour fraude avérée, serait le prélude à la reprise en main étasunienne de toute la politique pétrolière du continent qui pourrait en privilégiant les ultra-libéraux atlantistes priver l’axe indo-sino-russe de leur meilleur levier de politique de « dédollarisation » aux Amériques. (https://www.egaliteetreconciliation.fr/Maduro-reelu-president-du-Venezuela-la-presse-occidentale-s-etrangle-76257.html).
C’est là qu’il importe d’être un minimum familiarisé avec cette fameuse loi de Benford, peu connue des non spécialistes, sinon le lecteur risquerait de gober n’importe quoi – comme il y est déjà contraint de le faire par ces mêmes médias qui diffusaient la propagande officielle la plus alarmiste « anti-covid » établie par des gens qui ne savent même pas de quoi ils parlent, et par des médicâtres complices qui la relayaient toujours.
La loi de Benford
A la différence de lois de probabilité les plus anciennes connues où – à partir d’un modèle mathématique construit – on a mis en évidence des phénomènes qui les suivent, la loi de Benford est une loi de probabilité empirique, initialement fondée sur l’observation de phénomènes réels et non intuitifs, mais à partir desquels on a trouvé un modèle mathématique approchant. D’où son surnom étonnant de « loi des nombres anormaux ».
Ainsi, dans une série de données numériques décimales, on pourrait ainsi s’attendre à voir les chiffres de 1 à 9 apparaître après la virgule à peu près aussi fréquemment les uns que les autres, comme premier chiffre significatif, soit avec une fréquence de 1/9 = 11,1 % pour chacun d’eux. C’est une conséquence « attendue » de la construction d’un système établi sur une numération en base 10. Or cette approche intuitive s’avère totalement fausse à l’observation !
Historiquement, en 1881, c’est l’astronome Simon Newcomb, qui l’énonce dans le Journal of Mathematics, après s’être aperçu de l’usure (et donc de l’utilisation préférentielle) des premières pages des tables de logarithmes par les logisticiens et les praticiens du calcul numérique, et que, par suite, les nombres décimaux dont la première décimale « 1 » ont une fréquence d’apparition et d’usage significativement plus importante que les autres. Personne ne s’intéressera à cette remarque jusqu’à ce que Frank Benford, en 1938, remarque à son tour cette « usure inégale des tables« , et arrive aux mêmes résultats que Newcomb, après avoir répertorié des dizaines de milliers de données de sujets des plus divers (longueurs de fleuves, cours de la bourse, etc.). C’est à partir de ces observations empiriques que la loi de probabilité fut formalisée : elle porte, à tort ou à raison le nom de Benford (quand la paternité pourrait en être attribuée à Newcomb même s’il ne l’a pas réellement formalisée). C’est initialement une loi dite discrète (discontinue, construite point par point) qui sera généralisée en loi continue.
Définition :
Une série de nombre réels en écriture décimale suit la loi de Benford si la fréquence d’apparition du premier chiffre significatif c de la suite décimale vaut approximativement :
Pour 1 ≤ c ≤ 9 où log désignant le logarithme décimal.[1]
L’une des probabilités très intéressante à analyser qui découle de cette formalisation initiale est celle du second chiffre et celle du troisième, si le premier chiffre de la série concernée suit effectivement la loi de Bandford.
La probabilité que le chiffre c [c ϵ (1 ; … ; 9] soit en position k > 1 est donnée par la relation :
Une formule qui se démontre assez facilement et qui peut paraître un peu rébarbative même si elle est assez facilement manipulable par les outils de calcul, même élémentaires.
Disposer des probabilités (traitées alors au seuil de signification souhaité) des chiffres de la succession décimale de valeurs dont les chiffres initiaux sont susceptibles de suivre la loi de Benford permet de mettre en évidence des « anomalies » observées par rapport aux séries attendues. Ce sont les anomalies ainsi détectables qui peuvent être l’indice de manipulations de données.
Evidemment, il existe des tas de séries statistiques qui ne peuvent suivre une telle loi : par exemple l’analyse de la répartition des tailles chez l’homme ne risque pas de faire apparaître « 1 » en première décimale dans la série (même si on s’intéresse plus spécifiquement aux pygmées).
C’est ce qu’on appelle un biais statistique structurel.
Les applications sont multiples dans les domaines littéraires, scientifiques, économiques et financiers
Plusieurs démonstrations mathématiques indépendantes ont pourtant confirmé que ce résultat non intuitif est tout à fait attendu dans de nombreux contextes. Ainsi, en multipliant deux à deux n’importe quels nombres aléatoires, on aboutit à une série de valeurs qui vérifie peu ou prou la «loi de Benford». Voir par exemple ici :
https://docs.google.com/spreadsheets/d/1pnk6fsVJRcYH4dksD2XpVBOxSVoAfCX83rZJ_QRTuXE/edit#gid=0
Comme le résumaient en 2008 les chercheurs Gauvrit et Delahaye, « la loi de Benford [est] naturelle si les nombreux facteurs qui expliquent telle ou telle grandeur agissent multiplicativement ». Autrement dit, dans de nombreuses situations « en vie réelle » où les valeurs étudiées sont le fruit d’interactions parfois complexes, il n’y a finalement rien d’étonnant à observer une répartition plus ou moins similaire à celle définie par la « loi » de Benford dans les domaines les plus variés (tels ici les effectifs de cheptels !) ( https://calque.pagesperso-orange.fr/langages/python/pybenford.html)
A contrario, toute série de valeurs dont la succession observée des chiffres des nombres donnés s’éloigne notablement de la distribution de Benford peut être susceptible de suspicion de données frauduleuses, sans que la fraude à ce stade soit en aucun cas avérée. Il est même possible de mesurer le « doute probabiliste » associé en chaque point entre la valeur observée et la valeur théorique supposée fc deBenford : la distance correspondante peut être calculée par exemple avec le test classique de χ2 et traitée ensuite en termes de seuil acceptable de compatibilité… ou non. Ces données font alors l’objet d’analyses de services de recherche spécialisés dans des domaines aussi variés que la fraude fiscale, les falsifications de données financières et boursières, etc.
Selon une étude de 2011, la Grèce était « le pays de la zone euro dont les comptes publics s’écartaient le plus de la répartition attendue par la loi de Benford. » (sic !) L’analyse cryptographique où les mots les plus fréquemment employés sont recensés et listés par nombre décroissant permet de déterminer une « caractéristique rédactionnelle » de l’auteur d’un texte qui sera possiblement distinct du signataire officiel. En biométrie, les applications sont multiples notamment pour rechercher des résultats fantaisistes dont certaines publications – surtout médicales et pharmaceutiques – sont truffées. En revanche la détection d’anomalies ainsi observées peut aussi être précieuse en termes de recherche pure. Ainsi l’analyse simultanée de gènes ou portions de gènes d’intérêt via le séquençage à haut débit (NGS) montre un décompte qui suit (sauf anomalie pathologique ainsi détectable dans le lot traité) une loi de Benford (https://www.louvainmedical.be/fr/article/le-next-generation-sequencing-ou-ngs-un-nouvel-outil-de-biologie-moleculaire-au-service-des)
Le problème de la fraude électorale
C’est en Suisse que la loi de Benford a été utilisée pour la première fois dans cette perspective. «Jusqu’à 25% des votants utilisent le système électronique», relève Michel Warynski, directeur du support et des opérations de vote à la Chancellerie d’Etat. Il rappelle toutefois que, quel que soit le canal de vote, il n’est pas possible de totalement exclure une manipulation.
Le recours à la loi de Benford a été mis en œuvre lors des élections du 25 novembre 2012 dans le canton de Genève. Pour Eva Cantoni, professeure au Research Center for Statistics et au Département de sciences économiques de l’Université de Genève, « L’utilisation de la loi de Benford dans un tel contexte ne fait pas l’unanimité. La méthode manque en outre de puissance statistique, c’est-à-dire qu’elle permettrait probablement de détecter uniquement une fraude massive.» (https://www.letemps.ch/sciences/statisticiens-traquent-fraude-electorale).
L’analyse de l’élection Trump/ Biden
La situation quelque peu litigieuse de l’actuelle élection américaine de 2000 fait précisément état – selon la fameuse déclaration vidéo occulté de Biden – d’une « fraude massive » (sic !). C’est un certain Jim Hoft qui a jeté le pavé dans la marre de Twitter.
Mais les graphiques reproduits par monsieur Holt ne donnent ni abscisses ni ordonnées ni chiffres. S’ils sont pédagogiques en termes d’alerte, ces graphiques sont inexploitables tels quels en termes de démonstration !
C’est pourquoi le site gnews.org a repris les graphiques de monsieur Hoft et propose un intéressant ensemble de résultats électoraux de plusieurs grandes villes américaines dans une page au titre fracassant : “Joe Biden’s votes violate Benford’s Law – (Mathematics)” (Les votes Biden violent la loi de Benford) (https://gnews.org/534248).
Le schéma global, comparatif cumulé des voix, proposé n’a pourtant rien de particulièrement choquant, sur le plan statistique, au regard de cette loi, bien au contraire !
C’est en fait l’analyse bureau par bureau de votes dans certaines agglomérations qui va poser problème et notamment les cas du comté de Milwaukee – Wisconsin
de Chicago – Illinois
Ou du comté d’Alleghany (Pittsburg) – Pennsylvanie
Ou d’autres où les profils de Joe Biden sont carrément « hors des clous » alors qu’ils sont conformes dans de nombreux autres cas également présentés.
Le cas de Milwaukee a immédiatement fait réagir les universitaires :
Daniel Vidali Fryer, professeur de statistique à l’Université de Queensland, constate que la proportion du nombre de votants dans les 347 bureaux de vote la ville de Milwaukee n’épouse pas le profil de la « loi de Benford » et s’en écarte fortement, mais il explique immédiatement que cela « n’a absolument rien d’anormal ». Il apporte la » justification » suivante : « Il faut commencer par examiner la répartition des votants dans les circonscriptions électorales de Milwaukee. Ce nombre est, majoritairement, compris entre 500 et 1 000 votants par bureau. Regardons maintenant la répartition de la proportion des voix reçues par Biden dans chaque bureau : elles sont presque toujours supérieures à 50 %, avec une moyenne à 73 %. Or, 73 % d’un nombre compris entre 500 et 1 000 est un nombre compris entre 365 et 730. Rien dans la fourchette 365-730 n’a pour premier chiffre significatif « 1 ». Il est donc parfaitement attendu, dans ce contexte, que 1 ne soit pas le chiffre le plus courant. (…)
On pourra objecter que ces calculs se basent sur le taux de 73 %, qui est justement jugé suspect par certains. Ce n’est en réalité pas un problème, car nous ne chercherons pas à calculer la proportion « réelle » d’électeurs favorables à Biden. Nous ne faisons que répondre à la question : « Si l’ensemble des données est fiable, alors donne-t-il lieu à une distribution de Benford ? » Car, logiquement, cette question équivaut à « si la distribution n’est pas de Benford, alors cela signifie-t-il qu’elle n’est pas fiable ? » Tout cela se résume donc à la question de savoir si une élection valide et digne de confiance pourrait donner lieu aux proportions que nous observons. Le seul cas où nous pourrions nous attendre à cela est celui où un candidat est hautement préféré – et à Milwaukee, nous nous attendons déjà à ce que Biden soit hautement préféré.»
Le lecteur aura donc avalé donc cela sans broncher ?
N’importe qui pourtant pourrait rétorquer que si dans certains endroits « on peut s’attendre » à un résultat de 75% pour Biden qui « explique les écarts par rapports à la loi de Benford », on peut tout autant s’attendre à voir des écarts équivalents pour Trump dans des zones où il est plébiscité et » hautement préféré ». Curieusement les propagandistes de Biden, si actifs dans les médias, sont bien incapables de montrer de telles courbes impliquant Trump !
Daniel Vidali Fryer, comme d’autres mathématiciens, a réalisé diverses simulations électorales qui tiennent compte de la taille des bureaux et des intentions de vote, et confirment que les écarts à la loi de Benford sont tout à fait attendus. Alors pourquoi cela ne concerne-t-il pas Trump ? Les malversations électorales sont un sujet pourtant très étudié aux USA : (https://projecteuclid.org/download/pdfview_1/euclid.ss/1330437932).
«Les tests statistiques ne donnent jamais une preuve de fraude, mais indiquent seulement si les résultats semblent inhabituels», rappelait aussi Eva Cantoni, de l’Université de Genève, dans un entretien au quotidien Le Temps en 2013. Elle estimait que, dans le contexte d’élections à Genève, « par le jeu du hasard, environ un scrutin sur dix semblera inhabituel par rapport à la loi de Benford, même si aucun problème n’a entaché le processus». La loi de Benford ne peut donc pas être invoquée systématiquement pour démontrer à coup sûr l’existence d’une fraude. Au mieux cela peut être un indice, au pire une fausse piste.
Il n’empêche qu’il y a effectivement des indices à suivre !
Il faut donc s’en remettre aux techniques parfois laborieuses qui ont fait leurs preuves : la mise en évidence des bourrages d’urnes, la présence de votes multiples attribués à une même personne ou à des morts. (D’une manière générale, quand le nombre de votes enregistré dans un bureau est supérieur au nombre d’inscrits on peut sans trop s’avancer conclure à l’existence d’une fraude… C’est pour éviter cela que dans certains pays, les morts restent inscrits sur les listes électorales et votent encore très longtemps après leur mort)
Pour le reste les « certitudes médiatiques » doivent être justifiées. Encore faut-il vouloir et pouvoir le prouver et l’élection de Biden a montré que le caractère frauduleux n’a pu être mis en évidence au niveau général et que s’il y a fraude potentielle, elle doit être d’abord analysée bureau par bureau !
Au Venezuela, on attend donc que les Atlantistes, électoralement vaincus à ce jour, fassent sérieusement cette analyse avant de répandre ce qui n’est encore qu’une propagande calomnieuse. Pour ce qui est des statistiques ils vont lucidement chercher en rester à l’attitude politique de Winston Churchill : « Je ne crois aux statistiques que lorsque je les ai moi-même manipulées »
[1] Pour ceux qui souhaiteraient disposer d’éléments mathématiques plus conséquents sur l’axiomatique associée, nous les renvoyons aux articles suivants qui donnent une assez bonne approche les concernant
– le calcul des limites, associé à la fonction ⱬ de Riemann :
– la loi de Bandford : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Benford
– la convergence avec la loi de Zipf : https://fr.wikipedia.org/wiki/Loi_de_Zipf
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Bernard Plouvier
Texte lumineusement compliqué – encore que, pour une fois, j’ai pu suivre jusqu’au bout la démonstration d’un statisticien : Félicitations à l’auteur.
Au final, la blagur courante aux USA semble bien réelle : « Dans une élection, ce n’est pas ce que votent les gens qui compte, c’est ce que font les gens qui comptent les votes ! »